Nun gibt es zwei Arten von Mengen. Offene Mengen und abgeschlossene Mengen. Mengen wie die natürlichen Zahlen gelten als Teilmengen, weil sie an einer Seite eine Grenze besitzen, dagegen zur anderen Seite offen sind. Je nach Definition ist dann entweder n=0 oder n=1 die untere Grenze. Allgemein gilt jedoch der Satz: Das Komplement(Gegenteil) einer offenen Menge ist die abgeschlossene Menge. Das zeigt die Lösung zur erfolgreichen Einzäunung der Schafe. Voraussetzung für den Mathematiker war die Tatsache, dass die Erde annähernd eine Kugelgestalt besitzt. Betrachten wir nur die Kugeloberfläche, so stellen wir fest, dass es sich um eine unendliche Fläche handelt, der Topologe sagt dazu: Eine geschlossene zweidimensionale Mannigfaltigkeit. Sie besitzt keinen Rand. Es gibt etliche solcher Flächen. Die bekannteste ist das „Möbiusband“ oder die „Kleinsche Flasche“. Die weitere Voraussetzung für den Mathematiker besteht darin, dass der oben erwähnte Satz gilt.
Also wendete der Mathematiker nur noch folgenden Trick an: Er erklärte den ihn umgebenden Zaun mit Stacheldraht zugehörig als Rand zu der Menge an Land, auf dem sich die Schafe befinden. Durch die Kugeleigenschaft ist dieses Gebiet nun eingezäunt, also abgeschlossen, während der Mathematiker dagegen sich als Element einer offenen Menge sich an der Tatsache erfreuen kann, dass er die Aufgabe des Bauern vollständig und elegant löste.
Jetzt wird sich jemand bestimmt fragen, was der Zaun denn für einen Sinn hat. Der Mathematicus braucht nur einen kräftigen Sprung auszuführen und ist dann bei den Schafen angelangt. Das wäre doch in Wirklichkeit gar keine offene Menge. Nach unserer Anschauung ist dies Kritik nur zu berechtigt. Doch haben wir die Rechnung ohne die rellen Zahlen gemacht. Mathematisch gesehen wird unser Student den Zaun nie erreichen, denn es wird immer winzig kleines Stück übrig bleiben, was noch zu überwältigen ist, um an den Zaun zu gelangen. Dazu muss ein wenig ausgeholt werden.
Die Mathematik kennt neben der Triade: Voraussetzung-Behauptung-Beweis = Satz, noch eine andere fundamentale Verabredung. Ohne sie könnten wir kein logisches Gerüst aufbauen, was für die Mathematik unerlässlich ist. Diese Verabredung gilt für alle, die sich der Mathematik bedienen und heißt: Axiom. Die natürlichen Zahlen beruhen auf den Peanoschen Axiomen und die alles umfassenden rellen Zahlen gründen sich auf das „Axiom vom Dedekindschen Schnitt“ oder auch „Dedekindsches Zusammenhangsaxiom“ genannt. Der Mathematiker Dedekind setzte voraus, das zwischen zwei beliebig dicht beieinander liegenden rellen Zahlen immer noch eine weitere relle Zahl zu finden ist. Anschaulich dargestellt als ein scharfer Schnitt zwischen zwei beliebig dicht liegenden Zahlen. Statt einer Lücke finden wir wieder eine relle Zahl. Wir können also unendlich oft schnipseln ohne jemals einen „scharfen“ Schnitt durchzuführen. So erklärt sich auch, dass die Zahl ?=3,14159... kein Ende besitzt. Mit Megacomputern die Zahl ? berechnen zu wollen ist daher sinnlos. Es sei denn man will die Leistung des Rechners mit anderen vergleichen.
Wir sehen, dass die Einzäunung einer Weide, mathematisch gesehen, nicht ohne tiefschürfende Gedankenspiele gelingen kann. Vom Wert für den Bauern, der mit seinen Schafen Geld verdienen möchte, einmal völlig abgesehen.
Was jedoch nicht bedeutet, dass solche Betrachtungen nichts anderes als charmante Gesellschaftsunterhaltung auf gehobenem Niveau bedeuten. In der Wirklichkeit erleben wir nur allzu oft, dass gerade diese mathematischen Tatsachen einfach ignoriert werden und verhängnisvolle politische Auswirkungen nach sich ziehen.
ehemaliger
Fluplatz der sowjetischen Luftwaffe bei Merseburg
Laufgraben bei Verdun. Zwischen dem Fort Souville und den "vier Schornsteinen" gelegen. Frühjahr 1991
Der linke Graben ist ein offener oder ein geschlossener Graben? Wenden Sie die mathematische Definition an.
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Lösung:
Es ist ein offener Graben, nachdem man die Leichen der kriegstüchtigen Soldaten ausgeräumt hat. Er eignet sich jetzt zum Versteckspielen für die junge Generation, die von der Bundesregierung spielerisch auf den neuen Krieg gegen Russland vorbereitet werden soll.